岩体边界元分析

将岩体的控制方程和定解条件化为区域边界积分的积分方程，并把边界离散为有限个边界单元，建立相应的代数方程组来求解岩体问题的分析方法。这一方法常用于岩体工程的静力分析、动力分析、弹塑性分析、流变分析和渗流问题。 该方法的优点是：计算机计算时输入数据少，计算精度较高，尤其适用于分析岩体工程中经常涉及的无限域与半无限域问题。对于无限域问题，若用有限元或差分法计算，需进行近似处理，即用适当的有限域去替换无限域。此外，像渗流问题的计算中，常出现部分边界面（如浸润面）多次变动的情况，这时采用边界元分析，就比其他方法更为简捷。

现以边界元静力分析为例，说明方法的原理与应用（参见边界单元法）。根据静力学的控制方程以及相应的定解条件，可推出确定岩体区域中任一点位移的积分方程为

其中

式中，C^I为常数，当I点为内点时C^I=1，当I点为边界点时C^I=1/2；u^I_l为I点l方向的位移；u_k、p_k分别为边界点沿k方向的边界位移与边界面力；u^*_lk、p^*_lk分别为位移与面力的基本解；r为原点到场点的距离；x_l、x_k（l，k=1，2，3）为场点的坐标；n_l、n_k（l，k=1，2，3）为边界面法向余弦；G、μ分别为岩体弹性剪切模量和泊松比；δ为Dirac Deta函数；A、S、f_k分别为区域、区域边界以及单位体积的体积力。

由式（1）可推出确定区域任一内点的应力公式：

用解析法求解积分方程（1）是困难的，因此实际计算中常采用数值解法。现以平面问题为例说明具体解法。首先，将边界S分割成N个单元，第ΔJ单元的边界以ΔS_J表示，当ΔS_J很小时，其上的位移u^J₁、u^J₂和面力p^J₁、p^J₂可看成常量，在不考虑体积力的情况下，将式（1）写成

或写成

其中

将式（4）依次对各单元ΔS_J的中点写出l=1与l=2的方程，由此可得2N×2N的线性方程组

其中

具体计算时，先将边界上的已知位移与面力代入式（6），由此求出边界上所有未知的位移与面力，当边界上各点的位移与面力全为已知时，最后即可由式（1）与式（3）分别求出区域内任一点的位移与应力。