功的互等定理

表述作用在同一弹性体上的两组广义力在对应的两组广义位移上交互做功相等的力学定理，是弹性力学的重要定理。该定理由意大利的贝蒂（E.Betti）在1872年和英国的瑞利（L.Rayleigh）在1873年分别提出，也称贝蒂—瑞利功的互等定理。它的数学表达式为

式中，f^（1）_i、f^（2）_i为第一、第二组的体力张量；p^（1）_i、p^（2）_i分别为第一、第二组的面力张量；u^（1）_i、u^（2）_i分别为第一、第二组的位移张量；V为物体所占的空间；S为物体的边界面。

图1 位移互等示意图

该定理可以用虚功原理导出。将式（1）等号的左边项和右边项分别用内力虚功表示，则有

由于物体是线弹性的，有

式（2）称为内力功互等定理，式（1）也称外力功互等定理。

若将两组广义力取为单个集中广义力（图1），功的互等式可表示为

式中，P₁为第一组广义力；P₂为第二组广义力；Δ₁₂为P₂引起的在P₁作用点上沿P₁方向的位移；Δ₂₁为P₁引起的在P₂作用点上沿P₂方向的位移。

若P₁=P₂=1，可得

这就是麦克斯韦位移互等定理。

若将两组广义力取为不同约束处单位位移引起的有关约束反力r₁₁、r₂₁和r₂₂、r₁₂（图2），由式（1）可导出

这就是瑞利反力互等定理。

图2 反力互等示意图

图3 反力位移互等示意图

若将第一组广义力取为单位外力P₁=1和约束2处的沿Δ₂方向反力r₂1，而第二组广义力是约束2处Δ₂方向单位位移引起的自身反力r₂₂（图3），由式（1）可导得

式中，δ₁₂为约束2处Δ₂=1引起的在P₁作用点上沿P₁方向的位移；r₂₁为P₁=1引起的约束2处对应Δ₂的反力。这就是瑞利反力位移互等定理。